连续函数怎么证明可导

连续函数可导的证明可以使用极限的性质进行推导。首先，我们需要明确函数的定义和可导的定义。

连续函数：一个函数f(x)在区间[a， b]上连续，表示在[a， b]上的每一个点，函数f(x)都存在极限，并且这个极限值等于函数f(x)在这一点的函数值。

可导函数：一个函数f(x)在区间[a， b]上可导，表示在[a， b]上的每一个内点，函数f(x)在该点有定义，且这一点的导数存在。

现在我们来证明连续函数可导的性质。

假设函数f(x)在区间[a， b]上连续，则对于任意的x0∈(a，b)，f(x)在x0点连续，则存在一个极限lim(x→x0)f(x)=f(x0)。

要证明f(x)在x0点可导，我们需要证明这个极限的导数存在。

我们使用导数的定义来证明：导数f'(x0) = lim(h→0) (f(x0+h) - f(x0))/h 存在。

根据连续函数的定义，我们有：lim(x→x0)f(x)=f(x0)。因此，我们可以将前面的导数定义中的f(x0)替换为lim(x→x0)f(x)。

接下来，我们需要证明：lim(h→0) (f(x0+h) - lim(x→x0)f(x))/h 存在。

我们将lim(x→x0)f(x)展开为f(x0)进行求导得：lim(h→0) (f(x0+h) - f(x0))/h。

我们可以看到这一表达式就是导数的定义式，即f'(x0)。

由于f(x)在x0点连续，所以f(x0+h)也在x0点连续。因此，我们可以将极限中的f(x0+h)替换为f(x0)。

现在我们得到了：lim(h→0) (f(x0+h) - f(x0))/h = f'(x0)。

这就证明了连续函数在任意一点x0的导数存在，即连续函数是可导的。

因此，连续函数可以使用导数的性质来进行推导。

综上所述，连续函数的可导可以通过导数的定义和连续函数的性质进行证明。